¡Por fin hemos llegado a la última parte del Tema de probabilidad! Si te perdiste las anteriores partes léelas antes de empezar con esta, parte 1 y parte 2.

En esta segunda parte te voy a enseñar el Teorema de Bayes, el Teorema de la Probabilidad Total y una ayuda para calcular probabilidades con los diagramas de árbol.

 

5.6. Teorema de bayes

Para este apartado necesito que recuerdes bien la fórmula de la probabilidad condicionada.

Y también la fórmula del Teorema del Producto.

Ambas vistas en el Tema 5, parte 2.

El Teorema de Bayes es una mezcla de ambas. Se trata de calcular una probabilidad condicionada pero se da el caso de que no conocemos la probabilidad de la intersección.

No conocer la probabilidad de la intersección va a suponer calcularla con la fórmula del producto.

Esto sucederá sobre todo en sucesos que tienen orden en el tiempo. Yo siempre suelo poner el ejemplo las probabilidades de coger bien el autobús y llegar tarde al trabajo, habiendo cogido bien el bus o no.

Empecemos primero con el ejemplo que hemos ido viendo en el Tema 5, tanto en parte 1 como en parte 2, de la urna con bolas. Recuerda que extraíamos una bola y luego otra.

Las probabilidades que podemos calcular directamente con Laplace son las de la primera exacción y la segunda extracción condicionada a la primera:

Como estás viendo, podemos calcular la probabilidad condicionada a acción pasada, primera extracción en este caso, sin problema con Laplace. Pero si calculamos la probabilidad de primera extracción condicionada a segunda ya es distinto.

Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de haber sacado rojo en primera extracción siendo que he sacado rojo en segunda? En fórmulas de probabilidad sería así:

Te recomiendo que en los ejercicios hagas siempre un primer paso de escribir la fórmula de la condicionada y de ahí veas qué es lo que necesitas calcular.

Aquí nos encontramos con que no podemos calcular la intersección y tenemos que calcularla con la Regla del Producto. Puedes hacerlo a parte o en la propia fórmula:

También falta de calcular la probabilidad de que la segunda sea roja, que de la segunda extracción sólo tenemos condicionada a la primera. Aunque no lo veis con nombre en el temario, esto es el Teorema de la Probabilidad Total.

Es muy fácil de calcular mediante razonamiento. ¿Cuántas posibilidades hay de que la segunda bola sea roja? En este ejercicio tenemos dos caminos: que la primera haya sido roja y que la segunda haya sido verde. Esto son dos opciones, así que es una unión de dos intersecciones:

Y esto ya lo podemos calcular con el Teorema del Producto, estate atento en condicionar a lo que conoces.

Así que el Teorema de la Probabilidad Total sería este:

Así que finalmente la probabilidad será esta:

 

Ejemplos

Hagamos ahora un ejercicio con el ejemplo que he dicho del trabajo y el bus, pero vamos a poner tres opciones en primer momento (ir en coche, coger bien el bus o coger tarde el bus) y seguimos con las dos opciones en segundo momento (llegar bien a trabajar o llegar tarde).

Pongamos que nos dan las siguientes probabilidades:

Este tipo de probabilidades son las que podrías crear tú mismo apuntando por ejemplo durante un mes tus viajes al trabajo.

Pongámonos en el caso de que has llegado tarde a trabajar, pero no dices como has ido, sino que le dices a tres compañeros que calculen la probabilidad de que hayas venido en cada una de las tres opciones, y ellos saben que has llegado tarde, así que esa su condición.

¿Cuál será la opción con mayor probabilidad? Calculemos las tres.

Así que lo más probable es que haya cogido bien el bus.

 

5.7. Diagrama de árbol

El diagrama de árbol es una técnica que te ayudará a identificar los ejercicios y a ponerlos en orden.

Esta técnica se usa para sucesos que llevan un orden en el tiempo, como el ejemplo de la urna y el del trabajo.

Fíjate bien en como se crea. Comenzamos con el primer suceso y ponemos sus posibles resultados (dos, tres o los que haya), y de cada uno de estos posibles resultados sacamos el segundo sucesos y sus posibles resultados (igual que en el primero, dos, tres o los que haya).

Una vez que ya tengamos hecha la forma nos queda poner las probabilidades de cada resultado de los sucesos en las ramas, es decir, en las líneas. En las líneas del primer sucesos son probabilidades simples, pero en las del segundo suceso son probabilidades condicionadas al primer suceso.

Las características que te ayudarán del diagrama de árbol son las ideas de que seguir una rama es multiplicar y si cambias de rama es sumar. Vemos dos ideas:

El teorema del producto para una intersección decía:

Adaptado a las letras de este diagrama sería(un ejemplo):

y si lo vemos en la diagrama sería:

Y en el caso del teorema de la probabilidad total:

 

Ejemplos

Vamos a hacer los diagramas de árbol el ejemplo de la urna y el del trabajo y nos fijaremos en los cálculos que hemos ido haciendo anteriormente.

Comenzamos con la urna.

Primero habíamos calculado dos intersecciones en el apartado 5.5. Teorema del producto. Fíjate en cómo lo calculamos y cómo se corresponde con las ramas del diagrama.

Y también habíamos calculado el Teorema de la Probabilidad Tota y el Teorema de Bayes.

¿Ves bien las correspondencias con el diagrama de árbol? ¿Te resulta más sencillo? Dímelo en los comentarios. A mi siempre me ha resultado más visual así, incluso en la hoja de sucio que tengo mientras creo los ejercicios tengo hechos estos ejercicios con árbol desde el comienzo.

Veamos también el ejemplo del trabajo:

De nuevo, fíjate en cómo habíamos calculado y cómo se corresponde con las ramas del diagrama.

 

5.8. Cuadro resumen de fórmulas

Ya has visto que este tema ha sido bastante contundente, así que finalizamos con un resumen de las fórmulas que tienes para usar.

 

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Igual queda mal que lo diga yo pero… ¡al fin se acaba este tema!

El primer acercamiento al cálculo de probabilidades es bastante arduo y pesado, por ello ya tenía clara intención de que no publicarlo como una sola entrada. Espero que de este modo lo hayas ido viendo poco a poco y lo hayas podido comprender.

Definitivamente es el tema que más me ha costado escribir hasta ahora por la dificultad de escribir cada paso. Es mucho más sencillo en clase particular, donde puedes ver la reacción del alumno y hay posibilidad plena de preguntar dudas antes de continuar avanzando.

Espero que te sirva esta entra y si te perdiste las anteriores partes del tema a por ellas. Parte 1 y Parte 2.

Continúa entendiendo la estadística en Tema 6: Distribuciones discretas de probabilidad.

No te olvides de comentar 😉

Saludos y ánimo!