Continuamos con la segunda parte del tema de probabilidad. Si te perdiste la primera parte ve a leerla antes de esta para entender los conceptos previos.

En esta segunda parte te voy a explicar el Teorema de la suma, la probabilidad condicionada y el Teorema del producto.

5.3. Teorema de la suma

El Teorema de la suma va unido a la operación de UNIÓN de sucesos.

Recuerda que en la unión se sucesos, por ejemplo la unión a A y B, los casos favorables son los que cumplen A, los que cumplen B y los que cumplen ambos casos a la vez.

La zona rayada en verde son los sucesos que cumplen A, la zona rayada en rojo los que cumplen B y la zona rayada por ambos colores es la zona en la que se cumplen ambos a la vez.

Recuerda que sólo habrá zona en común cuando los sucesos sean compatibles. Por ejemplo, los sucesos A=”Sacar número par al lanzar un dado” y B=”Sacar número menor o igual a 4” ya habíamos dicho que son compatibles.

En cambio, los sucesos A=”Sacar número impar al lanzar un dado” y B=”Sacar número mayor de 5” son incompatibles, por lo que no tendrán zona en común en los dibujos.

La fórmula para calcular la unión de dos sucesos es la siguiente:

Lo que ocurre con esta fórmula es que cuando los sucesos son incompatibles no hay intersección, por lo que acabamos restando 0 a la suma de probabilidades.

Por ello en el formulario tienes dos fórmulas distintas, una en la que la probabilidad de la intersección está en la fórmula y otra en la que no, según el tipo de sucesos.

Ejemplos

En el que vimos del lanzamiento de un dado teníamos estos sucesos:

A=”Sacar número par”

B=”Sacar número menor o igual a 4”

Aunque en este caso es muy sencillo y ya teníamos calculada la probabilidad de la unión (en la primera parte del Tema 5), vamos a comprobar que se puede calcular de ambos modos.

En este caso los sucesos son compatibles así que:

Es el mismo resultado que habíamos dicho calculando con la definición clásica: 5 casos favorables que cumplen la unión entre 6 casos posibles.

Veamos otro ejemplo en tabla, tendréis así los datos en multitud de ocasiones.

Recuerda que teníamos dos opciones de tener las tablas de dos variables, lo vimos en el Tema 4: Análisis conjunto de dos variables, en el punto 4.1. Eran estas dos:

De este modo también podemos calcular probabilidades. Por ejemplo, que los sucesos sean A=”Sí Fumar” y B=”Sí padece Cáncer”.

Vamos a ir por partes para asegurar el uso de la tabla:

Calculemos ahora la probabilidad de la unión de ambos sucesos:

Vamos a calcular también la unión de A con B complementario, es decir, con no tener cáncer:

5.4. Probabilidad condicionada

Antes de calcular una probabilidad condicionada tienes que ver si los sucesos que tienes son dependientes o independientes (vimos esto en la primera parte del Tema 5), ya que si son independientes ocurre que la condición no afecta.
Es decir, si tengo los sucesos A y B independientes sucede que:

Así que en verdad nos interesa trabajar con dos sucesos dependientes. Como el ejemplo que habíamos puesto en le primera parte del tema, la extracción de dos bolas de una urna y también la de Fumar y Cáncer.
La fórmula para calcular la condición con dos sucesos A y B dependientes es la siguiente.

Más que en el orden de las letras, en lo que te tienes que fijar es en que en el numerador está la probabilidad de la intersección de los sucesos (recuerda que es lo mismo A∩B que B∩A) y en el denominador la probabilidad de la condición que tengamos.

Veamos cómo hacerlo con el ejemplo de Fumar y Cáncer.

 

Ejemplos

Teníamos los sucesos A=”Sí Fuma” y B=”Sí padece Cáncer”. Lo voy a escribir sin las letras de sucesos para que resulte más sencillo de interpretar.

Calculemos por ejemplo la probabilidad de B condicionado a A.

Calculemos también la probabilidad de A condicionado a B.

Podemos calcular distintas probabilidades con los sucesos complementarios de A y B, No Fuma y No padece Cáncer.

Tenemos que la probabilidad de tener cáncer si fuma es de 0’2857 y si no fuma se reduce al 0’0278.

 

5.5. Teorema del producto

En la primera parte del tema, cuando te he hablado de la regla de Laplace hemos visto un modo de calcular la intersección de dos sucesos, lo que también hemos visto en el ejemplo anterior, hay ocasiones en las que podemos calcular directamente la intersección, pero en otros no.

Hay momentos en los que no podremos calcularlo con la fórmula básica de casos favorables entre casos posibles. Para esos casos usaremos la fórmula de la probabilidad condicionada, despejando la intersección. Quedará así:

Del mismo modo que te decía tras la fórmula de la condicionada, más que en el orden de las letras, en lo que te tienes que fijar es en que el producto es probabilidad condicionada por la probabilidad de la condición.

Esta fórmula es para el cálculo de la intersección de dos sucesos dependientes.

Si los sucesos son independientes, recuerda que habíamos dicho que P( A | B ) = P( A ), así que:

En el ejemplo de Fumar y Cáncer no hay problema de calcular las intersecciones, así que vamos a coger el ejemplo de la urna.

 

Ejemplos

Teníamos una urna con 3 bolas verdes y 2 de color rojo. Extraemos dos bolas una detrás de otra y sin devolver la primera a la urna.

Calculemos la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean de color verde.

He cambiado de orden del producto para que vaya con el tiempo, 1ª extracción por 2ª extracción condicionada a la 1ª.

Calculemos otra.

 

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Hasta aquí la segunda parte del tema de Nociones básicas de probabilidad. Si te perdiste la primera parte no te la olvides. Continúa con la tercera y última parte. En ella hablo del Teorema de Bayes, del Teorema de la Probabilidad Total, del diagrama del árbol y tienes más ejemplos y un cuadro resumen del formulario de este tema, que es bastante espeso.

Si tienes alguna duda pregúntamela en los comentarios. Y si te ha quedado todo claro dímelo también en los comentarios.

Saludos y ánimo!