Dejamos atrás en análisis descriptivo visto hasta ahora en los anteriores temas, y entramos de lleno en los conceptos de probabilidad e inferencia.

Este tema es completamente distinto al anterior. Podríamos hacer dos grandes grupos del curso, los temas anteriores en un grupo (análisis descriptivo) y este y los siguientes en otro (probabilidad e inferencia).

Seguramente estás más acostumbrado a oír en tu vida diaria la palabra probabilidad. Ya sea en el tiempo (la probabilidad de lluvia), en el médico (la probabilidad de coger cierta enfermedad) y en otros campos.

Este tema de probabilidad es bastante espeso y largo, así que he decidido dividirlo en tres partes para que nos agobiéis. Esta parte va a tratar las primeras ideas de probabilidad.

5.1. Conceptos previos

Lo primero que tienes que saber para entender la probabilidad es la definición de un experimento aleatorio.

Un experimento aleatorio es un experimento que realizas sin saber de antemano el resultado que vas a obtener, por ello se llama aleatorio o de azar. Lo que sí que conoces de antemano son todos los posibles resultados que puede dar ese experimento.

Estos experimentos los podemos repetir cuantas veces queramos, pero siempre nos encontraremos con el mismo “problema” de no poder predecir el resultado.

Pongamos unos ejemplos de experimentos sencillos:

• Si lanzamos un dado no sabemos qué cara nos va a salir, pero sabemos que nos pueden salir del 1 al 6.
• Si lanzamos una moneda, aunque no sabemos que cara va a salir, sabemos que nos saldrá cara o cruz.
• Si lanzamos un balón a canasta sabemos que podemos encestar o no encestar.

Esos resultados que pueden dar y que podemos enumerar son los resultados posibles, se llaman sucesos. Concretamente, cada uno de esos resultados es un suceso elemental o simple. Y a este conjunto de sucesos se le llama espacio muestral, denotado por la letra E.

Los sucesos se suelen denotar con letras del alfabeto desde el inicio, A, B, C…

 

Tipos de sucesos

Los sucesos se pueden dividir en distintos grupos:

Por un lado, si englobo a uno solo de los resultados posibles es un suceso elemental. Si englobo a más de uno es un suceso compuesto.

En el ejemplo del lanzamiento de un dado tenemos seis sucesos elementales: A=”sacar un 1”, B=”sacar un 2”, …, G=”sacar un 6”. Los sucesos compuestos no se pueden enumerar porque pueden ser de distintos tipos, por ejemplo H=”sacar número par (sacar 2, 4 ó 6)”, I=”sacar superior a 4 (sacar 5 ó 6)”, etc.

Según su ocurrencia hablamos de suceso seguro y suceso imposible.

Como su nombre indica, el suceso imposible es el que no puede suceder. Si en el ejemplo del dado dijéramos que salga número mayor de 6… no hay ningún número mayor de seis en el dado, así que es suceso imposible.

En el caso del suceso seguro, sólo hay uno y es todo el espacio muestral. Es decir, decir que salga un número al lanzar un dado, por ejemplo.

También podemos comparar dos sucesos y decir la relación que existe entre ellos.

Una primera comparativa es decir si son compatibles o incompatibles (excluyetes). Si son compatibles quiere decir que se pueden dar a la vez e incompatibles es que no.

En el ejemplo del lanzamiento del dado, los sucesos A=”sacar número par” y B=”sacar número menor de 4” son sucesos compatibles porque sí que hay resultados que cumplen los dos. En este caso que salga el número 2.

En cambio, si fueran A=”sacar número impar” y B=”sacar mayor de 5”, estos dos sucesos son incompatibles, no hay ningún resultado que cumpla ambos.

Otra etiqueta que podemos poner a una pareja de sucesos es que sean dependientes o independientes. Son dependientes cuando el resultado de uno afecta al otro. Estos resultados son en línea temporal, hay un primero y un segundo.

Para diferenciar entre sucesos dependientes e independientes vamos a poner un ejemplo de una urna con bolas de la que sacamos una bola y nos la quedamos y sacamos una segunda bola.

Si la primera bola que saco es verde la urna quedará con 2 bolas verdes y 2 bolas rojas. Y si la primera bola es roja la urna quedará con 3 bolas verdes y 1 bola roja. Así que según lo que salga en la primera me va a quedar distinto para la extracción de la segunda bola.

Estos sucesos serán dependientes.

Pero si en vez de quedarme con la primera bola que saco la devuelvo a la urna, la urna estará igual saque el color que saque en la primera extracción. Así que en este caso los sucesos serán independientes.

 

Operaciones con sucesos

Hay tres operaciones con sucesos que tienes que saber: la unión, la intersección y el complementario.

Los símbolos que se usan son los siguientes (tomamos A y B como sucesos):

Las operaciones de sucesos siempre se explica con unos círculos por sucesos, es un modo muy sencillo y claro de explicar y comprender.

Tenemos todo el espacio muestral E dibujado como un rectángulo y dos sucesos, A y B, como círculos. Date cuenta de que en este gráfico los sucesos A y B son compatibles porque tienen una zona en común (si fuesen incompatibles estarían separados los círculos).

La unión de dos sucesos significa que sirve que ocurra uno, que ocurra otro o que puedan ocurrir ambos a la vez. Corresponde con la zona que aquí te pinto:

La intersección de dos sucesos obliga a que ocurran ambos. Corresponde con la zona que aquí te pinto:

El complementario de un suceso es el resto del espacio muestral, es decir, todos los demás resultados. Con el dibujo, el contrario de A sería esto:

Trabajemos con el ejemplo del lanzamiento del dado. Este sería nuestro espacio muestral:

Ponemos los sucesos A=”Sacar número par” y B=”Sacar número menor o igual a 4”.

La unión de A y B es: A ∪ B =”Sacar número par o menor o igual a 4”. Los números que valdrían para esta unión son 1, 2, 3, 4 y 6.

La intersección de A y B es: A ∩ B =”Sacar número par y que sea menor o igual a 4”. Los números que valdrían para esta unión son 2 y 4.

El suceso complementario de B es “No sacar número menor o igual a 4”, es decir, ”Sacar número mayor a 4”. Los números que valdrían para este complementario son 5 y 6.

5.2. Probabilidad

La probabilidad tenemos que entenderla como la “fuerza” con la que puede ocurrir un suceso. Si tenemos un suceso A, la probabilidad se escribe P(A).

En el libro os definen probabilidad de tres modos distinto, definición clásica, estadística y axiomática. La que más vas a usar tú es la clásica y la axiomática, comencemos por ellas:

 

Definición clásica de probabilidad (Laplace)

La definición clásica, también llamada Regla de Laplace, la puedes encontrar en la tercera definición que da la RAE al término probabilidad:

Ésta es la que realizamos en un experimento aleatorio sencillo como el del lanzamiento de un dado. Definimos la probabilidad del suceso como el número de casos que favorecen al suceso entre el número de casos posibles.

Veamos unos ejemplos con el dado.

Como el dado tiene 6 caras, el número de casos posibles al observar el resultado de un lanzamiento es 6. Pongamos algunos sucesos de ejemplo:

A=”sacar número par”

B=”sacar número menor o igual a 4”

A ∪ B

A ∩ B

*el valor resultante de la probabilidad lo podemos poner tanto en fracción como en decimal, acaba dependiendo de si da decimal exacto.

 

Definición Axiomática de probabilidad

La definición axiomática es simplemente la idea de que nos digan la probabilidad de que suceda algo, por ejemplo la probabilidad de que llueva mañana. Esto ocurre cuando no son experimentos aleatorios.

Podríamos decir, por ejemplo, que la probabilidad de que llueva mañana es del 80%. Así que si mi suceso es A=”probabilidad de que llueva mañana”, P(A)=0’80.

Ten en cuenta que la probabilidad no la escribimos en tanto por ciento, sino en tanto por uno, es decir, el valor que nos den en porcentaje entre 100.

 

Definición estadística de probabilidad

Esta definición la tienes como:

n: número de veces que repetimos un experimento

n_A: de esas n veces que hemos repetido el experimento cuántas han favorecido a A.

Pero, ¿qué significa esto?

Esta definición parte de la idea de repetir un experimento un alto número de veces y ver cuántas de esas veces ha salido el suceso A que buscamos.

Pongamos el ejemplo de lanzar una moneda y sacar cara.

Por la definición clásica sabemos que la probabilidad de sacar cara es 0’5 (1/2); pero si lanzamos 10 veces una moneda ten por seguro que no serán 5 caras exactas las que te hayan salido. Así que repetimos múltiples veces:

Cuanto más alto sea el número de repeticiones más nos acercamos al resultado de la probabilidad teórica.

 

Propiedades

Sea cual sea la definición que hagas de probabilidad siempre tiene que cumplir unas propiedades sencillas:

1. Cualquier probabilidad valdrá como mucho 1, que corresponde con el suceso seguro, y como mínimo 0, que corresponde con el suceso imposible.
2. La probabilidad de todo es espacio muestral (E) vale 1, es el suceso seguro.
3. La probabilidad de un suceso es igual a 1 menos la probabilidad de sus suceso complementario. Y reordenando sacamos dos ecuaciones más: la probabilidad de un complementario es 1 menos la probabilidad del suceso y la suma de la probabilidad de un suceso y su complementario es 1.

Vemos un momento con los dibujos.

La zona pintada es todo el espacio de probabilidad y vale 1.

Teniendo que el suceso A=”que salga el número 1” vale 1/6, la zona no pintada es su complementario y vale 5/6. Su suma hace 1.

 

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Hasta aquí esta primera parte del tema de Nociones básicas de probabilidad. Ahora puedes continuar con la segunda parte. En ella hablo del Teorema de la suma, la probabilidad condicionada y el Teorema del producto. Ya tienes la tercera y última parte del tema con el Teorema de Bayes, el Teorema de la Probabilidad Total, los diagramas de árbol y un resumen de todo lo visto.

Si te ha quedado alguna duda pregunta sin miedo en los comentarios. Este ha sido el tema que más me ha costado escribir. Es complicado intentar escribir con palabras todo lo que conlleva, y seguramente me habré dejado algo.

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Saludos y ánimo!